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Download Algorithmische Geometrie: Grundlagen, Methoden, Anwendungen, by Rolf Klein PDF

By Rolf Klein

Wie bestimmt guy in einer Menge von Punkten am schnellsten zu jedem Punkt seinen n?chsten Nachbarn? Wie l?sst sich der Durchschnitt von zwei Polygonen berechnen? Wie findet guy ein Ziel in unbekannter Umgebung? Mit solchen und ?hnlichen Fragen besch?ftigt sich die Algorithmische Geometrie, ein Teilgebiet der Informatik, dessen Entwicklung etwa 1975 begann und seitdem einen st?rmischen Verlauf genommen hat. Dieses Lehrbuch gibt eine Einf?hrung in h?ufig verwendete algorithmische Techniken wie Sweep, Divide-and-Conquer, randomisierte inkrementelle Konstruktion, Dynamisierung, amortisierte Kostenanalyse und kompetitive examine. Es stellt wichtige geometrische Strukturen vor wie konvexe H?lle, Voronoi-Diagramm und Delaunay-Triangulation sowie h?herdimensionale Datenstrukturen. Die vorliegende zweite Auflage wurde gr?ndlich ?berarbeitet. Sie enth?lt ?ber 60 ?bungsaufgaben mit L?sungen. Ferner bietet ein Geometrie-Labor mit Java-Applets die M?glichkeit, mit geometrischen Strukturen und Algorithmen zu experimentieren.

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Daneben gilt der Sinussatz. Sind p und q zwei Punkte im IRd , so gilt f¨ ur ihr Skalarprodukt p · q d pi qi = p · q = |p| |q| cos α, i=1 positive Richtung orthogonal Satz des Thales Elementaroperationen wobei α den Winkel zwischen ihren Ortsvektoren am Nullpunkt bezeichnet. Allgemein ist f¨ ur die Winkelmessung (und f¨ ur das Durchlaufen geschlossener Kurven in der Ebene) die positive Richtung gegen den Uhrzeigersinn; beim Skalarprodukt kommt es aber auf die Reihenfolge von p und q nicht an. Zwei Vektoren stehen genau dann aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt den Wert Null hat.

5 Sei nun Π ein Problem (z. B. all nearest neighbors), und sei P ∈ Π ein Beispiel des Problems der Gr¨oße |P | = n (also z. B. eine konkrete Menge von n Punkten in der Ebene). Ist dann A ein Algorithmus zur L¨ osung des Problems Π, in RAM-Anweisungen formuliert, so bezeichnet TA (P ) die Anzahl der Schritte, die die RAM ausf¨ uhrt, um die L¨ osung f¨ ur das Beispiel P zu berechnen. 5 Vom theoretischen Standpunkt aus kann man die RAM als Registermaschine mit abz¨ ahlbar unendlich vielen Registern oder als Turingmaschine mit Halbband ansehen, dessen Felder jeweils einen Buchstaben aus einem unendlichen Alphabet enthalten k¨ onnen.

B. auf Dehne und Sack [40] verwiesen. 5 Untere Schranken Ein Problem hat die Zeitkomplexit¨at Ω(f ), wenn es f¨ ur jeden Algorithmus eine Konstante c > 0 gibt, so daß sich f¨ ur jedes hinreichend große n Beispiele der Gr¨oße n finden lassen, f¨ ur deren L¨ osung der Algorithmus mindestens cf (n) viele Schritte ben¨otigt. Die Funktion f heißt dann eine untere Schranke f¨ ur das Problem. Manchmal lassen sich triviale untere Schranken f sehr leicht angeben. Um zum Beispiel in einer Menge von n Punkten in der Ebene einen am weitesten links gelegenen zu bestimmen, muß man zumindest jeden Punkt einmal inspizieren; also ist f (n) = n eine untere Schranke f¨ ur das Problem.

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